Calcula a integral

∫     t g 4 x   sec 6 ⁡ x   d x  

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral para vê se da uma melhorada nas ideias,

∫     t g 4 x   sec 6 ⁡ x   d x   = ∫     t g 4 x   sec 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x

Usando a identidade sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

∫     t g 4 x   sec 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x =   ∫     t g 4 x   1 + t g 2 x 2 sec 2 ⁡ x     d x    

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis,

u = t g   x             d u = sec 2 ⁡ x     d x  

Daí,

∫     t g 4 x   1 + t g 2 x 2 sec 2 ⁡ x     d x   =   ∫     u 4 1 + u 2 2   d u   = ∫ u 8 + 2 u 6 + u 4 d u  

Pela tabela,

= 1 9 u 9 + 2 7 u 7 + 1 5 u 5 + C = 1 9 t g 9 x + 2 7 t g 7 x + 1 5 t g 5 x + C

Resposta

∫     t g 4 x   sec 6 ⁡ x   d x   = 1 9 t g 9 x + 2 7 t g 7 x + 1 5 t g 5 x + C

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