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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 25

Calcula a integral

int_()^() t g^4 x sec^6 x d x

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral para vê se da uma melhorada nas ideias,

int_()^() t g^4 x sec^6 x d x = int_()^() t g^4 x sec^4 x sec^2 x d x

Usando a identidade sec^2 x = 1 + t g^2 x

int_()^() t g^4 x sec^4 x sec^2 x d x = int_()^() t g^4 x (1 + t g^2 x)^2 sec^2 x d x

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis,

u = t g x d u = sec^2 x d x

Daí,

int_()^() t g^4 x (1 + t g^2 x)^2 sec^2 x d x = int_()^() u^4 (1 + u^2)^2 d u = int (u^8 + 2 u^6 + u^4) d u

Pela tabela,

= (1)/(9) u^9 + (2)/(7) u^7 + (1)/(5) u^5 + C = (1)/(9) t g^9 x + (2)/(7) t g^7 x + (1)/(5) t g^5 x + C

Resposta

int_()^() t g^4 x sec^6 x d x = (1)/(9) t g^9 x + (2)/(7) t g^7 x + (1)/(5) t g^5 x + C

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