Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e logaritma) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = x 2 d x v =   ? u = ln ⁡ x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = x 2 d x v = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C u = ln ⁡ x d u = 1 x d x

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ x ⏟ u x 2 d x ⏟ d v = ln ⁡ x ⏟ u x 3 3 ⏟ v - ∫ x 3 3 ⏟ v 1 x d x ⏟ d u

∫ x 2 ln ⁡ x d x = x 3 ln ⁡ x 3 - 1 3 ∫ x 2 d x = x 3 ln ⁡ x 3 - 1 3 x 3 3 + C

∫ x 2 ln ⁡ x d x = 3 x 3 ln ⁡ x - x 3 9 + C = x 3 ( 3 ln ⁡ x - 1 ) 9 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ x 2 ln ⁡ x d x = x 3 ( 3 ln ⁡ x - 1 ) 9 + C

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