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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 10

Calcule a integral indefinida:

int x^2 ln x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e logaritma) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,x^2,d,x,v,=,,?],[u,=,ln x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,x^2,d,x,v,=,int x^2 d x =,(x^3)/(3),+,C],[u,=,ln x,d,u,=,(1)/(x),d,x]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace ln x) underset(d v)(ubrace x^2 d x) = underset(u)(ubrace ln x) underset(v)(ubrace ((x^3)/(3))) - int underset(v)(ubrace (x^3)/(3)) underset(d u)(ubrace (1)/(x) d x)

int x^2 ln x d x = (x^3 ln x)/(3) - (1)/(3) int x^2 d x = (x^3 ln x)/(3) - (1)/(3) ((x^3)/(3)) + C

int x^2 ln x d x = (3 x^3 ln x - x^3)/(9) + C = (x^3 ( 3 ln x - 1 ))/(9) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int x^2 ln x d x = (x^3 ( 3 ln x - 1 ))/(9) + C

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