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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 14

Avalie a integral.

int (sin ² ( 1 // t ))/(t^2) d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos lembrar da seguinte identidade:

sin^2 x = (1 - cos (2 x))/(2)

Substituindo na nossa integral:

int (1 - cos (2 (1)/(t)))/(2 t^2) d t

= (1)/(2) int (1 - cos ((2)/(t)))/(t^2) d t

Passo 2

Agora, pela regra da soma:

(1)/(2) int (1)/(t^2) d t - (1)/(2) int (cos ((2)/(t)))/(t^2) d t

Para a primeira integral:

(1)/(2) int (1)/(t^2) = - (1)/(t)

Para a segunda, vamos utilizar a regra da substituição:

u = (2)/(t) d t = - (t^2)/(2) d u

Substituindo u e d u // d t , temos:

int - (cos u)/(2) d u

= - (1)/(2) int cos u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

= - (1)/(2) int cos u d u

= - (1)/(2) sin u

Substituindo u :

(1)/(4) sin ((2)/(t)) - (1)/(2 t) + C

Resposta

(1)/(4) sin ((2)/(t)) - (1)/(2 t) + C

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