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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 41

Nos exercícios de 37 a 44, calcule a integral definida. (41) ∫ 0 π / 6 t g 2 x + s e c ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Você pode se assustar ao olhar essa integral, até tem umas coisas de trigonometria ali, o que, por si só, já causa um certo desconforto. Mas vamos olhar com mais calma e ver o que o probelma nos dá.

f x = ∫ 0 π / 6 t g 2 x + s e c ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ 0 π / 6 t g ( 2 x ) d x + ∫ 0 π / 6   s e x ( 2 x ) d x

Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essass integrais de uma maneira mais amigável. Lembra la da teoria de trigonometria? Então, de lá a gente tira que t g x = s e n ( x ) / c o s ⁡ ( x ) . Vamos colocar isso aí dentro da integral e ver como fica.

f x = ∫ 0 π 6 s e n 2 x cos ⁡ 2 x d x + ∫ 0 π 6 sec ⁡ 2 x d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral que compõe a f ( x ) separadamente. Seja g x = ∫ s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x e h x = ∫ s e c ⁡ ( 2 x ) . Inicialmente vamos esquecer os limites de integração, para facilitar as nossas contas.

Vamos agora resolver g x = ∫ s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x . Essa integral é tranquila de resolver. Sabemos que a derivada do cosseno é menos o seno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Vamos fazer u = cos ⁡ 2 x → d u = - 2 s e n 2 x d x → - d u 2 = s e n 2 x d x .

g u = ∫ - 1 2 ⋅ d u u g u = - 1 2 ∫ d u u

Olha que integral lindona que ficou para a gente resolver *-* Vambora descobrir o valor dela:

g u = - 1 2 ln ⁡ u + C

Iniciamos a questão usando a variável x . Para escrever o resultado final, precisamos voltar para ela. Como definimos anteriormente que u = c o s ( 2 x ) , temos:

g x = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x + C

Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável x varia de 0 a π / 6 . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x 0 π 6 = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 π 6 - ln ⁡ cos ⁡ 0 g x = - 1 2 ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 1 = - 1 2 ln ⁡ 1 2 g x = - 1 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = 1 2 l n ⁡ ( 2 )

Passo 3

Para a h ( x ) também vamos esquecer os limites de integração para resolvermos com maior tranquilidade. Assim:

h x = ∫ sec ⁡ 2 x d x

Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por sec ⁡ 2 x + t g ( 2 x ) .

h x = ∫ sec ⁡ 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x = ∫ s e c 2 x + sec ⁡ 2 x t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja u = sec ⁡ 2 x + t g 2 x → d u = 2 [ sec ⁡ 2 x t g 2 x + s e c ² ( 2 x ) ] d x → d u / 2 = [ s e c ⁡ ( 2 x ) t g ( 2 x ) + s e c ² ( 2 x ) ] d x .

h u = ∫ d u 2 u

Depois da substituição de variável podemos ver que ficou extremamente mais simples do que era! Agora é mole de resolver!

h u = 1 2 ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = sec ⁡ 2 x + t g 2 x ,

h x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x + C

Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável x varia de 0 a π / 6 . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

h x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x 0 π 6 = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ 2 π 6 + t g 2 π 6 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + t g 0 h x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ π 3 + t g π 3 - ln ⁡ 1

h x = 1 2 [ ln ⁡ 2 + 3 ]  

Resposta

O resultado é:

∫ 0 π / 6 t g 2 x + s e c ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + 2

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