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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 43

Calcule as integrais.

Passo 1

Olhando para essa parada dá ate medo né?

Mas se a gente pensar um pouquinho a mais, dá pra lembrar de uma identidade trigonométrica que diz o seguinte:

(1 + c o s 2 theta)/(2) = cos^2 theta ⟹ 1 + c o s 2 theta = 2 cos^2 theta

O que é bem parecido com nosso problema né? Mas o nosso argumento do cosseno deveria aparecer 2 multiplicando alguma coisa, que deveria ser igual ao nosso argumento. Ou seja,

(t)/(2) = 2 k ⟹ (t)/(4)

Passo 2

Então, se a gente comparar com a identidade, nosso theta = (t)/(4) . Então vamos substituir essa merda logo né?

int sqrt(1 + cos ((t)/(2))) d t = int sqrt(2 cos^2 ((t)/(4))) d t = int sqrt(2) | cos ((t)/(4)) | d t

Perceba que ficou em módulo, pois tiramos da raiz, e claro, não calculamos raiz de números negativos.

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

int sqrt(2) | cos ((t)/(4)) | d t = = 4 sqrt(2) |s e n ((1)/(4))| + C

Resposta

int sqrt(1 + cos ((t)/(2))) d t = 4 sqrt(2) |s e n ((1)/(4))| + C

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