Calcule a integral.

int tan^4 ( x ) sec^6 ( x ) d x

Passo 1

Fala galera, bora pra mais um problema de Cálculo 1.

Como temos uma integral trigonométrica, faz sentido procurarmos uma forma de simplificar o que temos utilizado de identidades trigonométricas.

Primeiro, vamos manipular algebricamente nossa integral, temos:

int tan^4 ( x ) sec^2 ( x ) sec^2 ( x ) sec^2 ( x ) d x

Em seguida, vamos utilizar a seguinte identidade:

sec^2 (x) = 1 + tan^2 (x)

Substituindo:

int tan^4 (x) (1 + tan^2 (x))^2 sec^2 ( x ) d x

Passo 2

Com isso, vamos utilizar a integração por substituição, temos:

u = tan ( x )

int u^4 (1 + u^2)^2 d u

Expandindo este produto notável, temos: int u^4 + 2 u^6 + u^8 d u

Pela propriedade da soma, temos:

int u^4 d u + 2 int u^6 + int u^8

Integrando, temos:

(u^5)/(5) + (2)/(7) u^7 + (u^9)/(9) + C

Por fim, basta substituirmos u . Fica assim:

(1)/(5) tan^5 ( x ) + (2)/(7) tan^7 ( x ) + (1)/(9) tan^9 ( x ) + C

Resposta

(1)/(5) tan^5 ( x ) + (2)/(7) tan^7 ( x ) + (1)/(9) tan^9 ( x ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados