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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 25

Calcule a integral.

int tan^4 ( x ) sec^6 ( x ) d x

Passo 1

Fala galera, bora pra mais um problema de Cálculo 1.

Como temos uma integral trigonométrica, faz sentido procurarmos uma forma de simplificar o que temos utilizado de identidades trigonométricas.

Primeiro, vamos manipular algebricamente nossa integral, temos:

int tan^4 ( x ) sec^2 ( x ) sec^2 ( x ) sec^2 ( x ) d x

Em seguida, vamos utilizar a seguinte identidade:

sec^2 (x) = 1 + tan^2 (x)

Substituindo:

int tan^4 (x) (1 + tan^2 (x))^2 sec^2 ( x ) d x

Passo 2

Com isso, vamos utilizar a integração por substituição, temos:

u = tan ( x )

int u^4 (1 + u^2)^2 d u

Expandindo este produto notável, temos: int u^4 + 2 u^6 + u^8 d u

Pela propriedade da soma, temos:

int u^4 d u + 2 int u^6 + int u^8

Integrando, temos:

(u^5)/(5) + (2)/(7) u^7 + (u^9)/(9) + C

Por fim, basta substituirmos u . Fica assim:

(1)/(5) tan^5 ( x ) + (2)/(7) tan^7 ( x ) + (1)/(9) tan^9 ( x ) + C

Resposta

(1)/(5) tan^5 ( x ) + (2)/(7) tan^7 ( x ) + (1)/(9) tan^9 ( x ) + C

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Calcule a integral int (1 + s e n x)/(1 - s e n x) d x .
A região sob a curva y = sin 2 ⁡ x de 0 a π é girada em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido obtido.
Use a entrada indicada da Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral. ∫ 0 π 2 cos ⁡ 5 x cos ⁡ 2 x d x , e n t r a d a80
Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y = arcsin ⁡ x x, x ≥ 0 , é girada em torno do eixo y.
Use a entrada indicada da Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral. ∫ 0 1 tan 3 ⁡ π 6 x d x , e n t r a d a69