Calcule a integral.

∫ ⁡ tan 4 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x )   d x  

Passo 1

Fala galera, bora pra mais um problema de Cálculo 1.

Como temos uma integral trigonométrica, faz sentido procurarmos uma forma de simplificar o que temos utilizado de identidades trigonométricas.

Primeiro, vamos manipular algebricamente nossa integral, temos:

∫ ⁡ tan 4 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x )   d x

Em seguida, vamos utilizar a seguinte identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x

Substituindo:

∫ ⁡ tan 4 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ ( x )   d x

Passo 2

Com isso, vamos utilizar a integração por substituição, temos:

u = tan ⁡ ( x )

∫ u 4 1 + u 2 2   d u

Expandindo este produto notável, temos: ∫ u 4 + 2 u 6 + u 8   d u

Pela propriedade da soma, temos:

∫ u 4   d u + 2 ∫ u 6 + ∫ u 8

Integrando, temos:

u 5 5 + 2 7 u 7 + u 9 9 + C  

Por fim, basta substituirmos u . Fica assim:

1 5 tan 5 ⁡ ( x ) + 2 7 tan 7 ⁡ ( x ) + 1 9 tan 9 ⁡ ( x ) + C

Resposta

1 5 tan 5 ⁡ ( x ) + 2 7 tan 7 ⁡ ( x ) + 1 9 tan 9 ⁡ ( x ) + C

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