Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 42
Nos exercícios de 37 a 44, calcule a integral definida. (42)
Passo 1
Você pode se assustar ao olhar essa integral, até tem umas coisas de trigonometria ali, o que, por si só, já causa um certo desconforto. Mas vamos olhar com mais calma e ver o que o probelma nos dá.
Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essass integrais de uma maneira mais amigável. Lembra la da teoria de trigonometria? Então, de lá a gente tira que . Vamos colocar isso aí dentro da integral e ver como fica.
Passo 2
Vamos resolver cada integral que compõe a separadamente. Seja e . . Inicialmente vamos esquecer os limites de integração, para facilitar as nossas contas.
Para temos:
Essa integral é mais suave de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Seja .
Olha que maravilha ficou essa integral pra resolver! Integrando ela teremos:
Iniciamos a questão usando a variável . Para escrever o resultado final, precisamos voltar para ela. Como definimos anteriormente que , temos:
Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável varia de a . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 3
Para a também vamos esquecer os limites de integração para resolvermos com maior tranquilidade. Assim:
Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por .
Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja .
Depois da substituição de variável podemos ver que ficou extremamente mais simples do que era! Agora é mole de resolver!
A gente começou a questão em função de , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que ,
Agora vamos entrar com os limites de integração para encontrarmos o valor final dessa integral! Nó temos que a variável varia de a . Assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resposta
O resultado é: