Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 26
Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (26)
Passo 1
Questão envolvendo trigonometria sempre dá um susto na gente, não é? Mas não precisamos criar pânico, elas acabam sendo bem tranquilas e legais de resolver. Vamos dar uma olhada na integral que nos fois dada:
Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essas integrais de uma maneira mais amigável. Lááá trigonometria, a gente tira a seguinte relação:
Assim, vamos substituir essa expressão na nossa integral:
Passo 2
Vamos resolver cada integral que compõe a separadamente. Seja e .
Para temos:
Essa integral é mais simples de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Seja .
Essa integral é tranquila para a gente resolver! Vambora descobrir o valor dela:
A gente começou a questão em função de , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que ,
Passo 3
Para a temos:
Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por .
Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja .
Depois da substituição de variável podemos ver que ficou muito mais simples do que era! Agora é mole de resolver!
Como no passo anterior, a gente começou em função de , né? Logo, precisamos voltar pra ela! Como , temos:
Resposta
O resultado é: