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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 5

Avalie a integral.

int sin^5 ( 2 t ) cos^2 ( 2 t ) d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos usar uma substituição:

2 t = v

(d v)/(2) = d t

Substituindo:

int sin^5 (v) cos^2 (v) ((1)/(2)) d v

Passo 2

Depois, precisamos separar a função seno. Fica assim:

int sin^5 (v) cos^2 (v) ((1)/(2)) d v = (1)/(2) int ( sin^2 v ) ² sin v cos^2 v d v

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

sin ² x = 1 - cos^2 x

Substituindo na nossa integral:

(1)/(2) int ( 1 - cos^2 v ) ² sin v cos^2 v d v

Passo 3

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = cos v

d u = - sin v d v

d v = (d u)/(- sin v)

Substituindo u e d u // d x , temos:

int (1 - u^2) ² sin v u^2 ((- d u)/(sin v))

int - (1 - u^2) ² u^2 d u

int - u^2 + 2 u^4 - u^6 d u

Passo 4

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

int - u^2 + 2 u^4 - u^6 d u

Pela regra da adição:

int - u^2 d u + int 2 u^4 d u - int u^6 d u

= - (u^3)/(3) + (2 u^5)/(5) + (u^7)/(7) + C

Substituindo u e depois v :

- (1)/(6) cos^3 (2 t) + (1)/(5) cos^5 (2 t) - (1)/(14) cos^7 ( 2 t ) + C

Resposta

- (1)/(6) cos^3 (2 t) + (1)/(5) cos^5 (2 t) - (1)/(14) cos^7 ( 2 t ) + C

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