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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 15

Avalie a integral.

int cot x cos ² x d x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos expressar a cotangente como:

int cot x cos^2 x d x = int (cos x)/(sin x) cos^2 x d x

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

cos ² x = 1 - sin^2 x

Substituindo na nossa integral:

int (cos x)/(sin x) ( 1 - sin ² x ) d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = sin x

d x = (d t)/(cos x)

Substituindo u e d u // d x , temos:

int (1 - u^2)/(u) d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

int (1 - u^2)/(u) d u

Pela regra da adição:

= int (1)/(u) d u - int u d u

Integrando:

ln | u | - (u^2)/(2)

Substituindo u :

ln | sin x | - (sin ² x)/(2) + C

Resposta

ln | sin x | - (sin ² x)/(2) + C

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