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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 56

Encontre área da região limitada pelas curvas dadas.

y = sin ⁡ x ,     y = 2 sin 2 ⁡ x ,       x = 0 ,       x = π 2

Passo 1

Para resolvermos esse problema, fazemos algumas considerações: o sin ⁡ x > 0 para o intervalo de 0 < x < π 2 , então o sinal de 2 sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x que é igual a 2 sin ⁡ x ( sin ⁡ x - 1 2 ) , sendo semelhante a sin ⁡ x - 1 2 .

Analisando o sinal, temos que 2 sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x é positivo em ( π 6 , π 2 ) e negativo em ( 0 , π 6 ) . Assim, podemos calcular a área, certo??

A = ∫ 0 π 6 ( sin ⁡ x - 2 sin 2 ⁡ x ) d x + ∫ π 6 π 2 ( 2 sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x ) d x

Organizamos a integral aplicando aquela integral: sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

A = ∫ 0 π 6 ( sin ⁡ x - 1 + cos ⁡ 2 x ) d x + ∫ π 6 π 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x - sin ⁡ x ) d x

Agora é só resolvermos a integral!!

Passo 2

A = ∫ 0 π 6 ( sin ⁡ x - 1 + cos ⁡ 2 x ) d x + ∫ π 6 π 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x - sin ⁡ x ) d x

A = - cos ⁡ x - x + 1 2 sin ⁡ 2 x 0 π 6 + x - 1 2 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ x π 6 π 2

Aplicando os intervalos de integração, temos

A = - cos ⁡ π 6 - π 6 + 1 2 sin ⁡ 2 π 6 - - cos ⁡ 0 - 0 + 1 2 sin ⁡ 2 0 + x - 1 2 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ x π 6 π 2

A = - 3 4 - π 6 - - 1 + π 2 - 1 2 sin ⁡ 2 π 2 + cos ⁡ π 2 - π 6 - 1 2 sin ⁡ 2 π 6 + cos ⁡ π 6

A = - 3 4 - π 6 - - 1 + π 2 - π 6 + 3 4

Então,

A = - 3 2 + π 6 + 1

Prontinho!!

Resposta

A = - 3 2 + π 6 + 1

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