Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 12
Avalie a integral:
Passo 1
Vamos começar separando essa integral em duas partes:
E vamos lidar com uma de cada vez, começando com a da esquerda. Vamos dividir por no numerador e no denominador:
Esse termo do denominador é muito suspeito, ele é muito parecido com uma integral conhecida:
Então vamos tentar deixar a nossa integral com essa cara fazendo uma substituição:
Substituindo isso na integral, ficamos com:
Pronto, então a integral é:
Passo 2
Agora vamos olhar para a segunda integral:
Vamos tentar decompor essa integral em frações parciais:
A segunda fração tem um polinômio de segundo grau no denominador, por isso colocamos um de primeiro no seu numeraodr.
Para encontrar e , vamos multiplicar aquela equação por :
E a partir disso podemos escrever um sistema:
Então:
Passo 3
Ok, agora vamos tentar integrar isso:
E as duas integrais podem ser resolvidas da mesma forma. Temos uma razão entre a derivada de uma função (ou quase) e a própria função: estamos falando de logaritmos!
Então:
Passo 4
Agora é só juntar tudo:
Resposta
A integral vale .