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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 32 b

Calcule as integrais. B) Usando substituição trigonométrica

Passo 1

Já que temos que usar substituição trigonométrica, nada melhor que visualizar o triângulo retângulo que dá origem à nossas substituições.

Vamos começar as contas então, blz?

t = 1 2 sec ⁡ θ           ⟹ d t = 1 2 s e c θ   t g θ  

Daí,

∫ t   d t 4 t 2 - 1 = ∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1        

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x temos que

∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1 = ∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ t g θ   =   1 4   ∫ sec 2 ⁡ θ   d θ   = t g θ 4 + C

Passo 3

Olhando para o nosso triângulo e sabendo que cosseno é cateto adjacente pela hipotenusa,

t g θ =   4 t 2 - 1 1 4     = 4   4 t 2 - 1  

Passo 4

Sendo assim, nossas contas ficam

∫ t   d t 4 t 2 - 1 =   1 4   ∫ sec 2 ⁡ θ   d θ   = t g θ 4 + C =     4 4 t 2 - 1 4 + C =       4 t 2 - 1 + C  

Resposta

∫ t   d t 4 t 2 - 1 =   4 t 2 - 1 + C  

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