Calcule as integrais. B) Usando substituição trigonométrica

Passo 1

Já que temos que usar substituição trigonométrica, nada melhor que visualizar o triângulo retângulo que dá origem à nossas substituições.

Vamos começar as contas então, blz?

t = 1 2 sec ⁡ θ           ⟹ d t = 1 2 s e c θ   t g θ  

Daí,

∫ t   d t 4 t 2 - 1 = ∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1        

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x temos que

∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1 = ∫ 1 2   s e c θ t g θ ⋅ 1 2 s e c θ d θ t g θ   =   1 4   ∫ sec 2 ⁡ θ   d θ   = t g θ 4 + C

Passo 3

Olhando para o nosso triângulo e sabendo que cosseno é cateto adjacente pela hipotenusa,

t g θ =   4 t 2 - 1 1 4     = 4   4 t 2 - 1  

Passo 4

Sendo assim, nossas contas ficam

∫ t   d t 4 t 2 - 1 =   1 4   ∫ sec 2 ⁡ θ   d θ   = t g θ 4 + C =     4 4 t 2 - 1 4 + C =       4 t 2 - 1 + C  

Resposta

∫ t   d t 4 t 2 - 1 =   4 t 2 - 1 + C  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A integral: ∫ x 2 x 2 + 4 d x Pode ser calculada tanto por substituição trigonométrica quanto por manipulação algébrica, reescrevendo o numerador do integrando como x 2 + 4 - 4 . Calcule a integral de
1-26. Calcule a integral.22. int_0^((1)/(2)) (d x)/((1 - x^2)^2)
37-48. Calcule a integral.44. int (e^x)/(sqrt(1 + e^x + e^(2 x))) d x
37-48. Calcule a integral.48. int_0^4 sqrt(x (4 - x)) d x
37-48. Calcule a integral.46. int (2 x + 3)/(4 x^2 + 4 x + 5) d x