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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 30 b

Calcule as integrais. B) Usando substituição trigonométrica

Passo 1

Já que temos que usar substituição trigonométrica, nada melhor que visualizar o triângulo retângulo que dá origem à nossas substituições.

Vamos começar as contas então, blz?

x = 2   t g y ⟹ d x =   sec 2 ⁡ y  

Daí,

∫ x 4 + x 2   d x = ∫   2   t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y   4 ( 1 + t g 2 y )   =     ∫   2   t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y   2   ( 1 + t g 2 y )  

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x temos que

∫   2   t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y   2   ( 1 + t g 2 y ) = ∫     t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y     ( 1 + t g 2 y ) =   ∫     t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y     sec 2 ⁡ y     = ∫     t g y ⋅ sec 2 ⁡ y   d y   sec ⁡ y   =   ∫   t g y   s e c y   d y   =   s e c y + C    

Passo 3

Olhando para o nosso triângulo e sabendo que cosseno é cateto adjacente pela hipotenusa,

s e c y   = 4 + x 2    

Passo 4

Sendo assim, nossas contas ficam

∫ x 4 + x 2   d x =     s e c y + C =     4 + x 2 + C    

Resposta

∫ x 4 + x 2   d x =   4 + x 2 + + C    

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