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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 34

Calcule a integral:

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema nos temos que calcular a integral

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r

Para resolver essa integral definida, vamos resolver a indefinida primeiro. Devemos observar que:

int (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = int (r * r^2)/(sqrt(4 + r^2)) d r

Para calcular essa integral podemos aplicar o método da substituição

int f (r) d r -> int g (u) d u

Agora podemos fazer a substituição u = 4 + r^2 -> d u = 2 r d r -> r d r = (d u)/(2) .

Sendo assim,

int (r * r^2)/(sqrt(4 + r^2)) d r = int ((u - 4))/(sqrt(u)) ((d u)/(2))

(1)/(2) int (u - 4)/(sqrt(u)) d u = (1)/(2) int ((u)/(u^((1)/(2))) - (4)/(u^((1)/(2)))) d u

Simplificando

(1)/(2) int (u^(1 - (1)/(2)) - 4 u^(- (1)/(2))) d u = (1)/(2) int (u^((1)/(2)) - 4 u^(- (1)/(2))) d u

Bora começar!

Passo 2

Para resolver a indefinida acima, vamos usar int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1 . Sendo assim:

(1)/(2) int (u^((1)/(2)) - 4 u^(- (1)/(2))) d u = (1)/(2) ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - (4 u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + C

Voltando na variável r , ficamos com:

int (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (1)/(2) ((2 u^((3)/(2)))/(3) - 8 u^((1)/(2))) + C = (1)/(2) ((2 (4 + r^2)^((3)/(2)))/(3) - 8 (4 + r^2)^((1)/(2))) + C

Simplificando...

int (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = ((4 + r^2)^((3)/(2)))/(3) - 4 (4 + r^2)^((1)/(2)) + C = ((4 + r^2)^((3)/(2)) - 12 (4 + r^2)^((1)/(2)))/(3) + C

int (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (( 4 + r^2 ) (4 + r^2)^((1)/(2)) - 12 (4 + r^2)^((1)/(2)))/(3) + C = (( r^2 - 8 ) (4 + r^2)^((1)/(2)))/(3)

Agora podemos resolver a definida.

Veja só!

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma, aplicando os limites de integração...

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (((r^2 - 8) (4 + r^2)^((1)/(2)))/(3)|_0^1 = ((1 - 8) (4 + 1)^((1)/(2)))/(3) - ((0 - 8) (4 + 0)^((1)/(2)))/(3)

Simplificando...

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (- 7 sqrt(5))/(3) - (- 8 * 2)/(3) = (- 7 sqrt(5) + 16)/(3)

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (- 7 sqrt(5) + 16)/(3)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int_0^1 (r^3)/(sqrt(4 + r^2)) d r = (16 - 7 sqrt(5))/(3)

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