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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 4

Calcule a integral:

int x e^(- x) d x

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

int x e^(- x) d x

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,e^(- x),d,x,v,=,,?],[u,=,x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,e^(- x),d,x,v,=,int e^(- x) d x =,-,e^(- x),+,C],[u,=,x,d,u,=,,1,d,x]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por parte:

int underset(u)(ubrace x) underset(d v)(ubrace e^(- x) d x) = underset(u)(ubrace x) underset(v)(ubrace (- e^(- x))) - int underset(v)(ubrace - e^(- x)) underset(d u)(ubrace 1 d x)

int x e^(- x) d x = - x e^(- x) + int e^(- x) d x = - x e^(- x) - e^(- x) + C

int x e^(- x) d x = - e^(- x) (x + 1) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int x e^(- x) d x = - e^(- x) (x + 1) + C

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