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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 6

Calcule a integral:

int t sen 2 t d t

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

int t sen 2 t d t

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sen 2 t d t,v,=,,?],[u,=,t,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sen 2 t d t,v,=,int sen 2 t d t =,-,(cos 2 t)/(2),+,C],[u,=,t,d,u,=,,1,d,t]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace t) underset(d v)(ubrace sen 2 t d t) = underset(u)(ubrace t) underset(v)(ubrace (- (cos 2 t)/(2))) - int underset(v)(- ubrace (cos 2 t)/(2)) underset(d u)(ubrace 1 d t)

int t sen 2 t d t = - (t cos 2 t)/(2) + (1)/(2) int cos 2 t d t = - (t cos 2 t)/(2) + (1)/(2) ((sen 2 t)/(2)) + C

int t sen 2 t d t = - (t cos 2 t)/(2) + (sen 2 t)/(4) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int t sen 2 t d t = - (t cos 2 t)/(2) + (sen 2 t)/(4) + C

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