Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 52
- Avalie .
- Avalie .
- Ilustre as partes (a) e (b) fazendo o gráfico de .
Passo 1
Olá, amigo, Yuri aqui e irei te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui nós temos essa função
E nos é pedido para que avaliemos o limite quando se aproxima do infinito, o que significa quando for extremamente grande. E também quando se aproxima de 0, ou seja, quando for extremamente pequeno.
Para isso, iremos manipular a função até termos um limite conhecido.
Passo 2
Bom, queremos o limite desta função quando tende a infinito, e para isso vamos ter que manipular um pouquinho essa equação:
Quando nós multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo valor não altera em nada nossa função, certo?
Vamos reorganizar mais um pouquinho:
Vamos ter que manipular mais um pouco, porque nós sabemos do capítulo 2 do James Stewart:
Guarda essa carta na sua manga!
Então nossa variável tem que tender a zero. Para isso vamos chamar:
Quando o . Agora sim:
Concluindo:
Passo 3
E quando o tende a zero? Iremos seguir a mesma linha de raciocínio:
Agora vamos fazer uma nova substituição:
Quando o Então:
Para resolver esse limite, irei utilizar o teorema do confronto, poderíamos ter utilizado ele na letra anterior, mas acho importante aprender as diversas formas de se resolver um limite, isso pode ser util.
O teorema do confronto diz que: Se quando x está próximo a (exceto possivelmente em ) e
Então . Vamos ver na prática pois é mais fácil de entender fazendo.
Para senos, nós temos um intervalo de existência:
Agora vamos dividir todos por t, para encontrar a nossa função :
Agora calculando os limites:
Sendo assim, pelo teorema do confronto:
Passo 4
Para finalizar vamos desenhar o gráfico desta função utilizando o GeoGebra:
Repara que quando é quase 0, a função também é quase 0, como encontramos no passo 3.
E quando fica muito grande (e vai pro infinito), a função vai pra 1, como encontramos no passo 2.
