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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 17

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sum_(n = 0)^(oo) int_n^(n + 1) (1)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para resolver este problema, vamos entender uma certa propriedade:

int_a^t f (x) d x + int_b^t f (x) d x = int_a^b f (x) d x

Tendo isso em mente, voltando para o somatório e a integral, obtemos que

sum_(n = 0)^(oo) int_n^(n + 1) (1)/(1 + x^2) d x = int_1^2 (1)/(1 + x^2) d x + int_2^3 (1)/(1 + x^2) d x + ...

Usando a propriedade mencionada anteriormente, nós temos que a integral pode ser escrita da seguinte forma

sum_(n = 0)^(oo) int_n^(n + 1) (1)/(1 + x^2) d x = int_0^(oo) (1)/(1 + x^2) d x

Essa integral tem como resultado

[tg^(- 1) x]_0^(oo) = tg^(- 1) (oo) - tg^(- 1) (0)

Que tem como resultado

[tg^(- 1) x]_0^(oo) = (pi)/(2) - 0

Resposta

(pi)/(2)

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