Avalie

∑ n = 0 ∞ ∫ n n + 1 1 1 + x 2   d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para resolver este problema, vamos entender uma certa propriedade:

∫ a t f x   d x + ∫ b t f x   d x = ∫ a b f x   d x

Tendo isso em mente, voltando para o somatório e a integral, obtemos que

∑ n = 0 ∞ ∫ n n + 1 1 1 + x 2   d x = ∫ 1 2 1 1 + x 2   d x + ∫ 2 3 1 1 + x 2   d x + …

Usando a propriedade mencionada anteriormente, nós temos que a integral pode ser escrita da seguinte forma

∑ n = 0 ∞ ∫ n n + 1 1 1 + x 2   d x = ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2   d x

Essa integral tem como resultado

tg - 1 ⁡ x 0 ∞ = tg - 1 ⁡ ∞ - tg - 1 ⁡ 0

Que tem como resultado

tg - 1 ⁡ x 0 ∞ = π 2 - 0

Resposta

π 2

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