Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 33
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Vamos lá galera, essa questão exige duas etapas. A primeira é calcular os dez primeiros termos da série e fazer a soma, bem simples né? A segunda etapa é estimar o erro dessa soma. Veja bem, se a série contém infinitos termos. Nós nunca teremos o valor exato da série ao somar um número finito de termos. Ou seja, sempre haverá uma diferença entre esses valores.E é essa diferença que vamos estimar. Tranquilo por aqui? Então vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Para estimar a soma com termos basta fazer
Como a questão pede com os primeiros termos
Teremos:
Para este cálculo, podemos usar um software matemático
Passo 3
Basicamente iremos utilizar uma segunda série que seja possível calcular seu valor exato. Por exemplo a série geométrica, e que seja parecida com a nossa série. Baseada no erro encontrado para essa série parecida, poderemos estimar o erro para a nossa série.
Veja:Nossa série é:
Observando o elemento mais significativo (de maior pot��ncia) no numerador e no denominador vamos ter:
Então usaremos essa série que chamaremos de para fazer a comparação.
Passo 4
Ora, sabemos que
Para qualquer valor de .
Usando
Pois . Podemos estimar o erro pelo teste da integral
Sendo o erro para a nossa série.
E como , podemos afirmar que
Calculando a integral
Então temos que
Como estamos usando