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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 30

a. Mostre que

∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n = 2 x 2 x - 1 3

Para x > 1 derivando a identidade.

∑ n = 1 ∞ x n + 1 = x 2 1 - x

Duas vezes, multiplicando o resultado por x e em seguida substituindo x por 1 x .

b. Utilize o item (a) para encontrar a solução real maior que 1 da equação

x =   ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Nós temos como informação que para x > 1 , a série se comporta da seguinte maneira

∑ n = 1 ∞ x n + 1 = x 2 1 - x

Ok, agora, vamos diferenciar os dois lados dessa igualdade, com isso,

d d x ∑ n = 1 ∞ x n + 1 = d d x x 2 1 - x

Isso nos fornece que

∑ n = 1 ∞ n + 1 x n = 2 x - x 2 1 - x 2

Agora, diferenciando a expressão acima novamente em relação a x, obtemos

d d x ∑ n = 1 ∞ n + 1 x n = d d x 2 x - x 2 1 - x 2

Com isso, obtemos o seguinte resultado

∑ n = 1 ∞ n n + 1 x n - 1 = 2 1 - x 3

Multiplicando os dois lados com respeito a x ,

∑ n = 1 ∞ n n + 1 x n = 2 x 1 - x 3

Passo 2

Aqui nós vamos trocar o x por 1 x , como dito no enunciado (o que significa que relação x < 1 se tornará x > 1 ) para manter a lógica

∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n = 2 x 1 - 1 x 3 ,     p a r a   x > 1

Manipulando um pouco mais

∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n = 2 x 2 x - 1 3 ,     p a r a   x < 1

Como dito no enunciado, questão provada!

Passo 3

B - Temos que encontrar a solução real maior que 1 da equação

x = ∑ n = 1 ∞ n n + 1 x n

Usando o resultado da letra a), temos que

x = 2 x 2 x - 1 3

Nossa missão é resolver essa igualdade, logo,

x x - 1 3 = 2 x 2

Expandindo o termo x - 1 3 , obtemos que

x x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 = 2 x 2

Desenvolvendo os termos

x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 - x - 2 x 2 = 0

Simplificando a igualdade

x x 3 - 3 x 2 + x - 1 = 0

Nós partimos do pressuposto que x seja maior que 1 , então descartamos x = 0 como solução, então usando uma calculadora, nós temos que x será igual a

x = 1 + 1 + 57 9 1 / 3 + 1 - 57 9 1 / 3 ≈ 2,769262

Portanto, a solução proposta é 2,769262

Resposta

a ) ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n = 2 x 2 x - 1 3 ,     p a r a   x < 1

b )   2,769262  

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