O que é o teste da integral? Qual é o raciocínio que ele contém? Dê um exemplo de sua aplicação.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

O teste integral pode ser usado para determinar a convergência ou divergência de uma série. Se onde é uma função contínua, positiva e decrescente de , então e ambos convergem ou divergem.

A ideia por trás desse teste é que a soma das áreas dos retângulos definidos por plotando cada como um retângulo de largura 1 e altura ocupando a faixa entre n e n+1 é menor por uma área finita que a área definida pela curva f(x).

Se a integral for convergente, sabemos que a área abaixo da curva é finita e a série é menor que isso, mas ainda é um número positivo, então ambos devem convergir. Da mesma forma, se a integral for divergente, sabemos que a área abaixo da curva é infinita e a série é menor que essa área por um número finito, o que significa que ambas devem divergir.

Por exemplo, seja o termo geral da sequência dado por:

Para verificar se ela converge vamos aplicar o teste da integral:

Sendo assim, a série diverge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!