Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 41
Um avião está voando a uma velocidade constante a uma altitude de sobre uma linha reta que ira passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de e está aumentando a uma taxa de . Ache a velocidade do avião.
Passo 1
Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:
1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.
2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:
3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.
4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.
5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.
Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk
Passo 2
Aqui estamos lidando com um avião com um avião sobrevoando uma pessoa, o avião está a uma altura , e seu angula varia a uma taxa de . O que queremos é a velocidade do avião quando o ângulo for .
Anotando teremos:
(Altura do avião)
(Taxa de variação do angulo)
(Queremos a velocidade do avião quando )
Passo 3
Agora é hora do desenho lindo :3
Passo 4
Uma relação muito interessante para se usar aqui é a da tangente, pois temos o cateto oposto a ao ângulo e queremos a variação do cateto adjacente, . Olhando o desenho mais simplificado fica mais fácil de entender
Passo 5
Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas
Derivando implicitamente em relação a , pois o ângulo e a distância variam com o tempo.
Antes de substituirmos os valores precisamos encontrar o valor inicial de para isso iremos usar as informações dadas na questão:
Substituindo os valores:
Como as unidades estavam em quilômetros e segundos a resposta será dada em quilômetros e segundos
Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3