Um avião está voando a uma velocidade constante a uma altitude de 3   k m sobre uma linha reta que ira passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 1 3 π   r a d e está aumentando a uma taxa de 1 60   r a d / s . Ache a velocidade do avião.

Passo 1

Taxas relacionadas pode parecer um pouco complicado, e as vezes é, pra ser sincero kkkk ;-; mas existe um passo a passo que pode nos ajudar muito pra resolver, confere ai:

1): ler bem o enunciado e anotar a informações necessárias.

2): fazer um lindo desenho para ilustrar o problema:

3): encontrar uma relação entre as variáveis, aqui vale tudo trigonometria, geometria, Pitágoras, Tales, lei dos senos, cossenos etc.

4): colocar toda a função em termos de uma única variável, aqui se aplica o mesmo que que no passo anterior, pode soltar a imaginação e a engenhosidade.

5): derivar a, manipular, substituir e zas e zas, aí você encontra a resposta.

Parece aqueles episódios do pateta tentando aprender alguma coisa kkk

Passo 2

Aqui estamos lidando com um avião com um avião sobrevoando uma pessoa, o avião está a uma altura 3   k m , e seu angula varia a uma taxa de 1 60   r a d / s . O que queremos é a velocidade do avião quando o ângulo for π 3   r a d .

Anotando teremos:

h = 3   k m   (Altura do avião)

d θ d t = 1 60   (Taxa de variação do angulo)

d θ d t ​ θ = π 3 = ?   (Queremos a velocidade do avião quando θ = π 3 )

Passo 3

Agora é hora do desenho lindo :3

Passo 4

Uma relação muito interessante para se usar aqui é a da tangente, pois temos o cateto oposto a ao ângulo e queremos a variação do cateto adjacente, d s d t = v . Olhando o desenho mais simplificado fica mais fácil de entender

tan ⁡ θ = 3 s

Passo 5

Agora é hora de juntar as informações, derivar implicitamente, manipularmos a equação, substituir valores e zas e zas

tan ⁡ θ = 3 s

Derivando implicitamente em relação a t , pois o ângulo e a distância s variam com o tempo.

d d t tan ⁡ θ = d d t 3 s ⇒ sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t = - 3 s 2 ⋅ d s d t ⇒ d s d t = - sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t 3 s 2

Antes de substituirmos os valores precisamos encontrar o valor inicial de s para isso iremos usar as informações dadas na questão:

tan ⁡ π 3 = 3 s ⇒ 3 = 3 s ⇒ s = 3 3  

Substituindo os valores:

⇒ d s d t = - sec 2 ⁡ θ ⋅ d θ d t 3 s 2 = - sec 2 ⁡ π 3 ⋅ 1 60 3 3 3 2 = - 4 ⋅ 1 60 3 9 3 = - 4 60 = - 1 15

Como as unidades estavam em quilômetros e segundos a resposta será dada em quilômetros e segundos

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d s d t = - 1 15   k m / s

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