Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 47
Um barril com de cerveja contém de álcool (por volume). Cerveja com de álcool é bombeada para dentro do barril a uma taxa de e a mistura é bombeada para fora à mesma taxa. Qual é a porcentagem de álcool depois de uma hora?
Passo 1
Hey, galera! Aqui a gente basicamente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva o que tá acontecendo nessa situação, pra depois resolvê-la.
Veja, tá entrando e saindo cerveja com diferentes porcentagens de álcool. Se chamarmos de a concentração de álcool no barril no instante , então seria a variação dessa concentração no tempo, depois a gente se preocupa em converter pra porcentagem. Basicamente, a gente tem que olhar pra quantidade que entra e que sai, e a velocidade ou taxa em que cada coisa acontece. Vamo lá?
Passo 2
Então, pessoal, vamos subtrair a taxa de saída de álcool da taxa de entrada, não esquecendo de dividir pelo volume do barril, já que estamos buscando a variação da concentração:
Essas taxas não são as mesmas de entrada ou saída de cerveja, pois a cerveja não é feita somente de álcool . Temos que saber qual a fração da taxa de entrada ou saída de cerveja corresponde à taxa de entrada ou saída de álcool, e pra isso, basta multiplicar pelas respectivas concentrações de álcool.
O enunciado nos deu a concentração de para a cerveja que entra, e é a concentração para a cerveja que sai:
Passo 3
Agora é só resolver a equação diferencial separável, botando cada variável pra um lado, e integrando separadamente:
No instante inicial, a concentração era , então e usamos isso pra calcular :
Agora substituímos o valor de e isolamos o :
Como o enunciado pede a porcentagem de álcool, é só multiplicar a função que achamos por 100:
Passo 4
Show! No passo anterior a gente encontrou a porcentagem de álcool no barril em função do tempo, então, pra descobrir qual vai ser a porcentagem depois de uma hora é só calcular , pois nossos cálculos foram feito para em minutos, beleza?