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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1g

Resolva.

(d x)/(d t) = x^2 - 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular as funções constantes, para isso precisamos achar as raízes de h (x) , onde:

(d x)/(d t) = g (t) h (x)

Temos então que:

h (x) = x^2 - 1

Passo 2

Vamos então calcular as raízes igualando h (x) a 0 :

h (x) = x^2 - 1 = 0 -> x = +- 1

Temos então que as funções contantes são:

x = +- 1

Passo 3

Agora vamos achar as soluções não constantes através da integral:

int (d x)/(h (x)) = int g (t) d t

Temos que:

(d x)/(d t) = g (t) h (x) -> (d x)/(h (x)) = g (t) d t -> (d x)/(x^2 - 1) = d t

Que na integral fica:

int (d x)/(x^2 - 1) = int d t -> - (1)/(2) ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x - 1| = t + C -> (1)/(2) ((ln |x - 1|)/(ln |x + 1|)) = t + C -> (1)/(2) ln |(x - 1)/(x + 1)| = t + C -> e^((1)/(2) ln |(x - 1)/(x + 1)|) = e^(t + C) -> (x - 1)/(x + 1) = e^t e^C -> x = (1 + e^C e^(2 t))/(1 - e^C e^(2 t))

Resposta

x = +- 1 ou x = (1 + e^C e^(2 t))/(1 - e^C e^(2 t))

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