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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 9

A base de um sólido é a região limitada pela parábola y 2 = 8 x e a reta x = 8 . Ache o volume do sólido, se toda secção plana perpendicular ao eixo da base for um quadrado.

Passo 1

Pessoal, para resolver essa questão nós vamos utilizar o método dos cortes e para utilizá-lo precisamos achar a fórmula da área de uma secção perpendicular genérica.

O problema disse que a base será a seguinte região que está entre a parábola e a reta x = 8 .

O problema também disse que a secção plana perpendicular ao eixo da base será um quadrado. Sendo assim, a interseção da seção plana com a região será um lado do quadrado que está marcado acima.

Perceba que no desenho eu já coloquei a função y = 8 x que nada mais é do que um ramo da parábola, que nós achamos isolando y . O lado l ( x ) é justamente o y de um ramo da parábola menos o y negativo simétrico do outro ramo, ou seja,

l x = 8 x - - 8 x = 2 8 x = 2 2 2 ⋅ 2 x = 4 2 x

l x = 4 2 x

Sendo esse o lado do quadrado, temos que A x = 16 2 x = 32 x .

Passo 2

Vamos lembrar agora a fórmula que calcula o volume. Seja S um sólido tal que S esteja entre planos perpendiculares ao eixo x em a e b . Se a medida da área da secção plana de S no plano perpendicular ao eixo x em x for dada por A ( x ) , onde A é contínua em [ a , b ] , então a medida do volume de S será dada por:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Comparando com o nosso problema, o nosso sólido estará entre planos perpendiculares ao eixo x no intervalo [ 0 , 8 ] , então esse será o nosso intervalo de integração. E também achamos a fórmula da área A x = 32 x das secções, logo, basta aplicar a fórmula.

V = ∫ 0 8 32 x d x

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos lembrar que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

V = ∫ 0 8 32 x d x d x = 32 x 2 2 0 8 = 16 x 2 0 8 = 16 8 2 - 0 2 = 1024

V = 1024   u . v

O volume é 1024 unidades de volume.

Resposta

V = 1024   u . v

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno Da reta x = 1 .Da reta x = 2 .
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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = 1 em torno Da reta y = 1 .Da reta y = 2 .Da reta y = - 1 .