Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 9
A base de um sólido é a região limitada pela parábola e a reta . Ache o volume do sólido, se toda secção plana perpendicular ao eixo da base for um quadrado.
Passo 1
Pessoal, para resolver essa questão nós vamos utilizar o método dos cortes e para utilizá-lo precisamos achar a fórmula da área de uma secção perpendicular genérica.
O problema disse que a base será a seguinte região que está entre a parábola e a reta .
O problema também disse que a secção plana perpendicular ao eixo da base será um quadrado. Sendo assim, a interseção da seção plana com a região será um lado do quadrado que está marcado acima.
Perceba que no desenho eu já coloquei a função que nada mais é do que um ramo da parábola, que nós achamos isolando . O lado é justamente o de um ramo da parábola menos o negativo simétrico do outro ramo, ou seja,
Sendo esse o lado do quadrado, temos que .
Passo 2
Vamos lembrar agora a fórmula que calcula o volume. Seja um sólido tal que esteja entre planos perpendiculares ao eixo em e . Se a medida da área da secção plana de no plano perpendicular ao eixo em for dada por , onde é contínua em , então a medida do volume de será dada por:
Comparando com o nosso problema, o nosso sólido estará entre planos perpendiculares ao eixo no intervalo , então esse será o nosso intervalo de integração. E também achamos a fórmula da área das secções, logo, basta aplicar a fórmula.
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos lembrar que .
Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.
Sabemos da integral definida que:
Em que é uma primitiva de .
Dessa forma,
O volume é unidades de volume.