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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 51a

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .
  3. Da reta y = 2 .
  4. Da reta x = 4 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação aos eixos coordenados, x e y , e em relação a retas paralelas a eles. Para cada um dos casos, discutiremos um pouco a metodologia necessária para calculá-los. Entretanto, todos eles possuem uma necessidade em comum: esboçar a região limitada! Começaremos por entender como é esta região.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Como queremos obter a rotação em torno do eixo x , utilizaremos o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A x d x = ∫ a b π R x 2 - r x 2   d x

Em que R x e r ( x ) são as funções que definem os raios externos e internos da nossa figura. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem são nossas funções! Elas são:

R x = 2

r x = x

Passo 3

Agora que obtemos as curvas, só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de x na nossa região? Eles são 0 e 4, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 4 π 2 2 - x 2 d x

V = ∫ 0 4 π 4 - x d x

V = π 4 x - x 2 2 0 4 = π 16 - 8

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta B C
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno da reta B C
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno do eixo y
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno do eixo x
Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .A reta x = 4