Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 3
Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar dois números positivos cujo produto seja e cuja soma seja mínima.
Beleza, como a gente não conhece esses números, vamos chama-los de e . Assim, sabendo que o produto entre eles vale , teremos:
Mas quando eu somo esses números eu tenho o menor valor possível!
Isso significa que vamos ter que minimizar para descobrir os valores de e . Pra isso, vamos começar escrevendo em função de e substituindo na soma . Depois, tendo apenas uma incógnita, vamos encontrar os pontos críticos da equação (derivando e igualando a zero). Assim, descobrimos o valor de uma das incógnitas e substituímos na equação para encontrar a outra.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar isolando na nossa primeira equação:
Substituindo isso na equação da soma, vamos ter:
Tirando o MMC:
Passo 3
Agora vamos encontrar o valor mínimo dessa expressão. Vamos começar derivando em relação a , usando a regra do quociente:
Agora igualando esse resultado a zero, temos:
Como o denominador não pode zerar, ficamos com:
E isolando na equação:
Para encontrar , substituindo esse resultado na primeira equação do passo . E temos:
Logo, os números são e são os números positivos cujo produto é 100 e cuja soma é mínima.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉