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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 35

Uma bola cai do topo do monumento a Washington que tem 165 m de altura. (a) Quanto tempo irá decorrer até ela atingir o solo? (b) Qual a velocidade escalar quando ela atingir o solo

Passo 1

Se um objeto se move livremente numa reta vertical e está sendo puxado em direção à terra pela força da gravidade, a aceleração devido à gravidade, denotada por g m/s², varia com a distância do objeto ao centro da Terra. Entretanto, para pequenas variações de distância, a aceleração, devido à gravidade, é quase constante e um valor aproximado de g, se o objeto estiver próximo ao nível do mar, será 10   m / s ² . Para esse tipo de exercício, continuam valendo as derivadas vistas para o movimento retilíneo, ou seja, v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t = v d v d s   .

Vamos analisar nosso exercício. Uma bola caiu do topo de um monumento e vai até o solo. Sabemos a velocidade com que ela sai do solo (nossa velocidade inicial no instante t = 0 ) e suas alturas inicial e final. A figura a seguir ilustra a trajetória da bola.

Seja t o tempo que passou desde o lançamento da bola, s a distância percorrida pela bola em t segundos, v a velocidade da bola e |v| a velocidade escalar da bola. Quando a bola atinge o chão, s = 0 . Sejam t f   e   v f os valores do tempo e da velocidade quando a bola atinge o chão. A única aceleração presente durante todo o movimento é a da gravidade, que é vertical e aponta para baixo. A tabela a seguir apresenta as condições iniciais que temos.

A aceleração tem um valor constante que tomaremos como - 10   m / s ² . Sabendo que a = d v / d t , temos:

a = d v d t = - 10 d v = - 10 d t ∫ d v = ∫ - 10 d t v = - 10 t + K 1

Passo 2

Aplicando as condições iniciais que temos:

v = 0   q u a n d o   t = 0

0 = - 10 * 0 + K 1

K 1 = 0

Portanto,

v t = - 10 t

Passo 3

Sabemos que v = d s d t . Assim:

d s d t = - 10 t d s = - 10 t d t ∫ d s = ∫ - 10 t d t s = - 10 t 2 2 + K 2 s = - 5 t 2 + K 2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais para a distância temos:

s = 165   q u a n d o   t = 0 165 = - 5 * 0 + K 2 K 2 = 165 Portanto,

s ( t ) = - 5 t 2 + 165

Passo 5

Respondendo as alternativas agora:

  1. Quando a bola retorna ao solo, s = 0   e   t = t f . Substituindo na equação final da distância temos:

    2. 0 = - 5 t f 2 + 165 5 t f 2 = 165 t f 2 = 33 t f = ± 33   s Como t = - 33 não pode ser usada porque o tempo seria negativo, essa resposta não pode ser considerada. Logo, a bola leva t = 33   s ≅ 5,74 para retornar ao solo.

  2. A velocidade escalar que a bola atinge o solo pode ser calculada utilizando os dados do tempo que ela atinge o solo. Quando t = 33   s a velocidade da bola será:

v f = - 10 t v f = - 10 * 33 v f = - 10 33 v f = 10 33   ≅ 57,4   m / s

Resposta

  1. O tempo de retorno ao solo é t = 5,74   s ;
  2. A velocidade escalar com qual a bola atinge o solo é v f = 57,4   m / s .
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