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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 2

  1. Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?
  2. Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y".
  3. Esboce várias curvas integrais.

d y d x = y 2 - 4

Passo 1

  1. Os valores de equilíbrio são onde a derivada é zero, ou seja, y = - 2 e y = 2 .

    2. Veja que a derivada vai ser negativa no intervalo de ( - 2,2 ) , e positiva antes de - 2 e depois de 2 , portanto, qualquer solução com valor entre ( - 2,2 ) vai decrescer em direção a y = - 2 .

    Com isso, temos que y = - 2 é um valor estável e y = 2 é um valor instável da função.

    Passo 2

  2. Vamos calcular a derivada segunda:

    3. y ' ' = d d x y ' = d d x ( y 2 - 4 )

    y ' ' = 2 y y '

    y ' ' = 2 y y 2 - 4 = 2 y ( y + 2 ) ( y - 2 )

    Então, y ' ' muda de sinal em y = 0 , y = - 2 e y = 2 .

    Então, montamos a reta de fases:

    Passo 3

  3. Para esboçar as curvas integrais, precisamos descobrir a integral.

Como a derivada d y d x = y 2 - 4 = y + 2 y - 2 , vamos fazer:

d y ( y + 2 ) ( y - 2 ) = d x

Vamos integrar dos dois lados (dá pra usar aquelas tabelas de integrais aqui):

1 4 l n y - 2 y + 2 = x + C

Agora a gente vai isolar o y:

y - 2 y + 2 = e 4 x + 4 C

y 1 - e 4 x + 4 C = 2 e 4 x + 4 C + 2

y =   2 e 4 x + 4 C + 2 1 - e 4 x + 4 C

Fazemos e 4 C = K ...

y = 2 K e 4 x + 2 1 - K e 4 x  

Sendo essa a família de integrais. Para esboçarmos as curvas integrais, é só marcarmos as retas de fase e alternamos o valor de K na integral.

Usando alguns valores, como K = { ± 1 , + 2 , ± 3 } Temos as curvas integrais:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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