Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 79

Uma bola é jogada verticalmente para cima a partir de uma altura de s 0 metros com velocidade inicial de v 0 m/s. Se ela for pega na altura s 0 , determine sua velocidade média no ar usando o modelo de queda livre.

Passo 1

Vamos lá, a partir do modelo de queda livre temos a fórmula:

s t = a 2 t 2 + v 0 t + s 0

Quando a bola chega na altura s 0 temos que a aceleração agora é a gravidade com o sinal negativo, assim a fórmula fica da forma:

s t = - g 2 t 1 2 + v 0 t 1 + s 0

Vamos agora achar o tempo fazendo s t = s 0 , já que ela volta para a mesma altura, assim temos:

s t = - g 2 t 1 2 + v 0 t 1 + s 0 → 0 = - g 2 t 1 2 + v 0 t 1 → t 1 - g 2 t 1 + v 0 = 0 →

t 1 = 0

- g 2 t 1 + v 0 = 0 → t 1 = 2 v 0 g

Pronto, vamos pegar a raiz positiva:

t 1 = 2 v 0 g

Passo 2

Agora vamos calcular a velocidade média enquanto está no ar, através da integral:

v m e d = 1 t 1 ∫ 0 t 1 v t d t

Temos que v t é igual a:

v t = - g t + v 0

Vamos substituir e calcular a integral:

v m e d = 1 t 1 ∫ 0 t 1 v t d t = 1 t 1 ∫ 0 t 1 - g t + v 0 d t = 1 2 v 0 g ∫ 0 2 v 0 g - g t + v 0 d t =

= g 2 v 0 ∫ 0 2 v 0 g - g t + v 0 d t = g 2 v 0 ∫ 0 v 0 g - g t + v 0 d t + ∫ v 0 g 2 v 0 g - - g t + v 0 d t

Passo 3

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

∫ 0 v 0 g - g t + v 0 d t = - g t 2 2 + v 0 t 0 v 0 g = - g ⋅ v 0 g 2 2 + v 0 ⋅ v 0 g - - g ⋅ 0 2 2 + v 0 ⋅ 0 =

= - v 0 2 g 2 + v 0 2 g = - v 0 2 2 g + v 0 2 g

∫ v 0 g 2 v 0 g - - g t + v 0 d t = ∫ v 0 g 2 v 0 g g t - v 0 d t = g t 2 2 - v 0 t v 0 g 2 v 0 g =

= g ⋅ 2 v 0 g 2 2 - v 0 ⋅ 2 v 0 g - g ⋅ v 0 g 2 2 - v 0 ⋅ v 0 g = g ⋅ 4 v 0 2 g 2 2 - 2 v 0 2 g - v 0 2 g 2 - v 0 2 g =

= 4 v 0 2 2 g - 2 v 0 2 g - v 0 2 2 g - v 0 2 g = 2 v 0 2 g - 2 v 0 2 g - v 0 2 2 g + v 0 2 g = - v 0 2 2 g + v 0 2 g

Pronto, agora é só juntar tudo e chegamos ao nosso resultado:

v m e d = g 2 v 0 ∫ 0 v 0 g - g t + v 0 d t + ∫ v 0 g 2 v 0 g - - g t + v 0 d t =

= g 2 v 0 - v 0 2 2 g + v 0 2 g + - v 0 2 2 g + v 0 2 g = g 2 v 0 - v 0 2 2 g + v 0 2 g - v 0 2 2 g + v 0 2 g =

= g 2 v 0 - 2 v 0 2 2 g + 2 v 0 2 g = g 2 v 0 - v 0 2 g + 2 v 0 2 g = g 2 v 0 - v 0 2 + 2 v 0 2 g = g 2 v 0 v 0 2 g = v 0 2

Resposta

v m e d = v 0 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a). ∫ e x
Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a). ∫ x 2
Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a). ∫ x 2
Use qualquer método para resolver em x .int_2^x (1)/(t (4 - t)) d t = 0,5 , 2x4
Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y . y = e - x , y = 0 , x= 0 , x = 3