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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 71

Use qualquer método para resolver em x .

int_2^x (1)/(t (4 - t)) d t = 0,5 , 2 < x < 4

Passo 1

A ideia aqui é calcular essa integral, achar uma resposta em função de x e igualar ao valor do outro lado da equação.

Preparado? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro temos que resolver a integral:

int_2^x (1)/(t (4 - t)) d t

Usando a fórmula 65 da tabela de integrais:

int (d u)/(u (a + b u)) = (1)/(a) ln |(u)/(a + b u)| + C

Fazendo:

u = t , a = 4 , b = - 1

Nossa integral fica:

int_2^x (1)/(t (4 - t)) d t = (1)/(4) ln |(t)/(4 - t)| (​|_2^x = (1)/(4) ln |(x)/(4 - x)|

Passo 3

Agora é só igualar os dois lados da equação:

(1)/(4) ln |(x)/(4 - x)| = 0,5

E isolar x :

ln |(x)/(4 - x)| = 2 :. (x)/(4 - x) = e^2 :. x = 4 e^2 - e^2 x

x + e^2 x = 4 e^2 :. x = (4 e^2)/(1 + e^2) = 3,5232

Prontinho!

Resposta

x = 3,5232

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9. Prove a Quarta Lei dos Expoentes [veja (15)].
7. Prove a Terceira Lei dos Expoentes para e x [veja (11)].
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