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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 79

Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y .

y = e - x ,     y = 0 ,     x   = 0 ,     x = 3

Passo 1

Para calcular o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região descrita por funções de x em torno do eixo y , podemos montar a integral:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Temos que a exponencial é sempre positiva, então podemos dizer que:

f x = e - x

Os extremos de integração estão no enunciado:

a = 0 ,     b = 3

Nossa integral fica então com essa carinha:

V = ∫ 0 3 2 π x   e - x d x

Passo 3

Agora é só calcular. Podemos tentar usar a Fórmula 51 da tabela de integrais:

∫ u e u   d u = e u ( u - 1 ) + C

Antes, vamos usar uma substituição:

u = - x , d u d x = - 1 ∴ - d u = d x

Com isso os extremos novos de integração ficam:

u 1 = - 1 ⋅ 0 = 0

u 2 = - 1 ⋅ 3 = - 3

E aí com a nova carinha da nossa integral, podemos calcula-la:

V = 2 π ∫ 0 - 3 u   e u d u = e u ( u - 1 ) ​ 0 - 3

Fazendo essas continhas, temos que:

V = 2 π ( - 4 e - 3 + 1 ) ≈ 5,03189

Prontinho!

Resposta

V = 5,03189

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Com referência ao exemplo 1.Ache a sequência da reta tangente à curva y = 1 / t que é para paralela à reta secante A D . Use a parte ( a ) para mostrar que ln ⁡ 20,66 .
Prove a terceira lei dos logaritmos. [Sugestão: Comece mostrando que ambos os lados da equação têm a mesma derivada].
Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ e - 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x d x
Utiliza a tabela de integrais no fim do livro para avaliar a integral. ∫ c o s s e c 3 x 2 d x
Avalie a integral. ∫ x + a x 2 + a 2 d x