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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 20

y^' = e^(x + y)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

y^' = (d y)/(d x) = e^(x + y) = e^x e^y -> (d y)/(e^y) = e^x d x

Pode se ver que, nossa função é exata, visto que foi possível aplicar a separação de variáveis.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Integrando em amnos os lados

int e^(- y) d y = int e^x d x

Assim temos

- e^(- y) = e^x + c

O que nos faz ficar com

e^x + e^(- y) = c

Exatamente o que procuravamos

Resposta

e^x + e^(- y) = c

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2 s e n y s e n x cos x + cos y s e n^2 x (d y)/(d x) = 0
d y d x = 3 x 2 - 2 y - y 3 2 x + 3 x y 2
d y d x + 2 y 2 + 6 x y - 4 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2 = 0
2 x y - y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 - x 2 y 2 d y d x = 0