Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 20
Passo 1
Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.
Para verificar se nossa função dada por é exata, tomamos
E verificamos se seu valor é nulo
Passo 2
Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como
Pode se ver que, nossa função é exata, visto que foi possível aplicar a separação de variáveis.
Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.
Passo 3
Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.
Integrando em amnos os lados
Assim temos
O que nos faz ficar com
Exatamente o que procuravamos
Resposta
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2 s e n y s e n x cos x + cos y s e n^2 x (d y)/(d x) = 0
(d y)/(d x) = (3 x^2 - 2 y - y^3)/(2 x + 3 x y^2)
(d y)/(d x) + (2 y^2 + 6 x y - 4)/(3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) = 0
(2 (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) (d y)/(d x) = 0