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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 25

(2 (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

((x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) d x + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) d y = 0

Agora vamos aplicar a relação do passo anterior, onde

(del)/(del x) ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) = (y^2 - x^2)/((x^2 + y^2)^2) - (2 x)/(y^2) = (del)/(del y) ((x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2))

Na qual pode se ver que nossa função é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)

E

(del varphi)/(del y) = (x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)

Assim temos que

varphi = int ((x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) d x = (x^2)/(y) - arctan (x)/(y) + C ( y )

Agora se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar (x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2) como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) ((x^2)/(y) - arctan (x)/(y) + C ( y )) = - (x^2)/(y^2) - (y^2)/(x^2 + y^2) (- (x)/(y^2)) + C^' (y) = (x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = (x^2)/(y) - arctan (x)/(y) + C = 0

Resposta

varphi (x , y) = (x^2)/(y) - arctan (x)/(y) + C = 0

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