dy/dx = 1 + 2x + y^2 + 2xy^2

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro trabalhar um pouco com nossa equação e ajeita-la a fim de ser possível resolve-la.

(d y)/(d x) = 1 + 2 x + y^2 + 2 x y^2 = 1 + 2 x + y^2 (1 + 2 x) = ( 1 + 2 x ) ( 1 + y^2 )

Assim temos elementos para escreve-la como

(d y)/(1 + y^2) = (1 + 2 x) d x

Agora integrando em ambos os lados, ficamos com

int (d y)/(1 + y^2) = arctan y = int (1 + 2 x) d x = x + x^2 + C

O que nos resume em

y = tan (x + x^2 + C)

E assim temos finalmente a nossa solução.

Resposta

y = tan (x + x^2 + C)

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