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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 13

(d y)/(d x) = 1 + 2 x + y^2 + 2 x y^2

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro trabalhar um pouco com nossa equação e ajeita-la a fim de ser possível resolve-la.

(d y)/(d x) = 1 + 2 x + y^2 + 2 x y^2 = 1 + 2 x + y^2 (1 + 2 x) = ( 1 + 2 x ) ( 1 + y^2 )

Assim temos elementos para escreve-la como

(d y)/(1 + y^2) = (1 + 2 x) d x

Agora integrando em ambos os lados, ficamos com

int (d y)/(1 + y^2) = arctan y = int (1 + 2 x) d x = x + x^2 + C

O que nos resume em

y = tan (x + x^2 + C)

E assim temos finalmente a nossa solução.

Resposta

y = tan (x + x^2 + C)

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(d y)/(d x) = (x)/(x^2 y + y^3) Sugestão: Seja u = x^2
x (d y)/(d x) + 2 y = (s e n x)/(x^2) , y (2) = 1
(d y)/(d x) + y = (1)/(1 + e^x)
(d y)/(d x) = e^(2 x) + 3 y