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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 17

(d y)/(d x) = e^(2 x) + 3 y

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Como este é um problema que não podemos usar a ideia de separação de variáveis, vamos ajeitá-lo para verificar se a equação é exata.

Assim temos

(e^(2 x) + 3 y) d x - d y = 0

Assim temos que

(del)/(del x) (- 1) - (del)/(del y) (e^(2 x) + 3 y) = - 3

Logo nossa equação não é dita exata e requer um fator integrante.

Temos que

mu (x) = exp int ((del N)/(del x) - (del M)/(del y))/(M) = exp int - 3 d x = e^(- 3 x)

Assim temos que

e^(- 3 x) (e^(2 x) + 3 y) d x - e^(- 3 x) d y = (e^(- x) + 3 y e^(- 3 x)) d x - e^(- 3 x) d y = 0

Deve ser exata. Vamos verificar ?

(del)/(del x) (- e^(- 3 x)) - (del)/(del y) (e^(- x) + 3 y e^(- 3 x)) = 3 e^(- 3 x) - 3 e^(- 3 x) = 0

Assim podemos dar continuidade na busca da nossa solução.

Passo 3

Agora queremos nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = e^(- x) + 3 y e^(- 3 x)

E

(del varphi)/(del y) = - e^(- 3 x)

Assim temos que

varphi = int (e^(- x) + 3 y e^(- 3 x)) d x = - e^(- x) - y e^(- 3 x) + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar - e^(- 3 x) como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (- e^(- x) - y e^(- 3 x) + C ( y )) = - e^(- 3 x) + C^' (y) = - e^(- 3 x)

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = - e^(- x) - y e^(- 3 x) + C = 0

Resposta

- e^(- x) - y e^(- 3 x) + C

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