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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 27

(d y)/(d x) = (x)/(x^2 y + y^3)

Sugestão: Seja u = x^2

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa solução é dita exata. Para isso vamos primeiro reescrever a nossa equação e tentar usar a relação do passo 1.

x d x + (x^2 y + y^3) d y = 0

O que nos da que

(del N)/(del x) - (del M)/(del y) = 2 y x

Onde

((del N)/(del x) - (del M)/(del y))/(M) = 2 y = Q ( y )

Então podemos supor que nosso fator integrante será

mu (y) = exp int 2 y d y = e^(y^2)

Assim temos

x e^(y^2) d x + e^(y^2) (x^2 y + y^3) d y = 0

Agora temos uma função exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = x e^(y^2)

E

(del varphi)/(del y) = e^(y^2) (x^2 y + y^3)

Assim temos que

varphi = int (x e^(y^2)) d x = (x^2)/(2) e^(y^2) + C ( y )

Agora se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar e^(y^2) (x^2 y + y^3) como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) ((x^2)/(2) e^(y^2) + C ( y )) = x^2 y e^(y^2) + C^' (y) = e^(y^2) (x^2 y + y^3)

Desta forma temos que C^' (y) = e^(y^2) y^3 . Usando duas substituição, uma por y^3 = u e depois v = u^(2 // 3) , chegamos em

C ( y ) = (1)/(2) (e^(y^2) y^2 - e^(y^2)) + C

varphi (x , y) = (x^2)/(2) e^(y^2) (1)/(2) (e^(y^2) y^2 - e^(y^2)) + C = 0

Resposta

(x^2)/(2) e^(y^2) (1)/(2) (e^(y^2) y^2 - e^(y^2)) + C = 0

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Considere o problema de valor inicial y ' - 3 2 y = 3 t + 2 e t , y 0 = y 0 Encontre o valor de y 0 que separa as soluções que crescem positivamente quanto t → ∞ das que crescem em módulo, mas permane