t * (dy/dt) + (t + 1) * y = e^(2t)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e^t e assim

t e^t (d y)/(d t) + (t + 1) e^t y = e^(2 t) e^t = e^(3 t)

A relação da esquerda pode ser resumida em uma derivada simples

(d)/(d t) (t e^t y) = e^(3 t)

Assim nos resta apenas integrar tudo em t , ou seja

t e^t y = int e^(3 t) d t = (e^(3 t))/(3) + C

Então apenas dividindo tudo por t e^t temos que

y = (e^(2 t))/(3 t) + (C)/(t) e^(- t)

Resposta

y = (e^(2 t))/(3 t) + (C)/(t) e^(- t)

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