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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 28

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

y + 2 ⋅ x ⋅ y - e - 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método do fator integrante supondo que o mesmo é dependente apenas de uma variável pela relação encontrada no capitulo, onde

μ ' = N x - M y M ⋅ μ

Após isso iremos resolver a nossa nova equação pelo método das diferenciais exatas para encontrarmos nossa solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular nosso M y e N x . Temos que M y = 1 e nosso N x = ( 2 ⋅ y ) . Usando a relação do passo 1, temos que

μ ' = 2 ⋅ y - 1 y ⋅ μ

Sendo então

d μ d y = 2 ⋅ y - 1 y ⋅ μ → μ = e 2 ⋅ y y

Multiplicando nosso fator integrante agora na equação, ficamos com

e 2 ⋅ y y ⋅ y + e 2 ⋅ y y ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y - e - 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

e 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ e 2 ⋅ y - 1 y ⋅ y ' = 0

Se calcularmos agora M y e N x , teremos que M y = 2 ⋅ e 2 ⋅ y = N x , como queríamos. Integrando nosso novo M em relação a x , temos que nossa ψ ( x , y ) será

ψ x , y = x ⋅ e 2 ⋅ y + g y

Derivando essa equação em relação a y e igualando a N , temos que

ψ y x , y = 2 ⋅ x ⋅ e 2 ⋅ y + g ' y = N = 2 ⋅ x ⋅ e 2 ⋅ y - 1 y

Sendo, então

g ' y = - 1 y

g y = - ln ⁡ y

Substituindo em ψ x , y , temos que

ψ x , y = x ⋅ e 2 ⋅ y - ln ⁡ y = C

Resposta

x ⋅ e 2 ⋅ y - ln ⁡ y = C

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