Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 22
Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.
Passo 1
Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Passo 2
Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.
Vamos reescrever nosso problema como
Assim usando a ideia de variáveis separáveis
Assim temos que
E a forma de transformá-la em exata é utilizando o fator integrante dado da seguinte forma.
Assim temos
Agora queremverificar se nossa equação é exata
Assim ela sendo exata, podemos na busca da nossa solução
Passo 3
Agora queremos achar quem é nossa função potencial
Imagine que tenhamos uma função , que quando derivamos em cada direção teremos
E
Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação
A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.
A integral da direita é tranquila, certo?
Se derivarmos, deveríamos obter, ou seja
Com
E a pergunta é, quanto vale ? Basta integrar, não? Assim teremos
O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é