1 - x' = x + y + t, y' = 4x - 2y; x(0) = 1, y(0) = 0

Passo 1

O erro no método de Euler e no método de Runge-Kutta é diferente. Basicamente, o erro no método Euler é superior ao método Runge-Kutta de ordem superior. Como no método de ordem superior, o erro de truncamento é menor.

Passo 2

O problema do valor inicial em uma notação vetorial pode ser escrito como,

(d)/(d t) ([[x],[y]]) = ([[x,+,y,+,t],[4,x,-,2,y]]) , x (0) = ([[1],[0]])

  1. A fórmula de Euler é,
  2. ([[x_n + 1],[y_n + 1]]) = ([[x_n],[y_n]]) + h ([[x_n,+,y_n,+,t_n],[4,x_n,-,2,y_n]])

    Isso é,

    x_n + 1 = x_n + h (x_n + y_n + t_n)

    y_n + 1 = y_n + h ( 4 x_n - 2 y_n )

    Com h = 0,1 obter valores são os seguintes:

    Passo 3

  3. O método Runge-Kutta inclui os seguintes cálculos:

    k_n + 1 = (x_n + y_n + t_n , 4 x_n - 2 y_n)^T

    k_n 2 = [x_n + (h)/(2) k_(n 1)^2 + y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2 + t_n + (h)/(2) , 4 (x_n + (h)/(2) k_(n 1)^2) - 2 (y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2)]

    k_n 3 = [x_n + (h)/(2) k_(n 2)^2 + y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2 + t_n + (h)/(2) , 4 (x_n + (h)/(2) k_(n 2)^2) - 2 (y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2)]

    k_n 4 = [x_n + h k_(n 3)^2 + y_n + h k_(n 3)^2 + t_n + h , 4 (x_n + h k_(n 3)^2) - 2 (y_n + h k_(n 3)^2)]

    Com h = 0,2 , os valores obtidos são os seguintes:

    Passo 4

Com  h = 0,1 , os valores obtidos são os seguintes:

A solução exata do problema do valor inicial é:

Resposta

a)

b)

c)

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