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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular

6.

( x - 1 ) 2 y ″ + 8 ( x - 1 ) y ' + 12 y   =   0  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = ( x - 1 ) r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r ( x - 1 ) r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) ( x - 1 ) r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

( x - 1 ) 2 y ″ + 8 ( x - 1 ) y ' + 12 y   =   0  

( x - 1 ) 2 r ( r - 1 ) ( x - 1 ) r - 2 + 8 ( x - 1 )   r x - 1 r - 1 + 12 ( x - 1 ) r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por ( x - 1 ) 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) ( x - 1 ) r + 8 r ( x - 1 ) r + 12 ( x - 1 ) r = 0

x - 1 r ( r r - 1 + 8 r + 12 ) = 0

Logo ou nossa função ( x - 1 ) r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 + 8 r + 12 = 0

r 2 + 7 r + 12 = 0

Fazendo bhaskara podemos descobrir que as soluções do problema são

r 1 = - 3

r 2 = - 4

Passo 3

Por fim nossa solução tem o seguinte formato:

y = c 1 ( x - 1 ) r 1 + c 2 ( x - 1 ) r 2  

Que no nosso caso fica

y = c 1 ( x - 1 ) - 3 + c 2 ( x - 1 ) - 4  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = c 1 ( x - 1 ) - 3 + c 2 ( x - 1 ) - 4  

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