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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.6 - Ex. 1

1 - Para obter alguma ideia dos perigos possíveis de pequenos erros nas condições iniciais, tais

como aqueles decorrentes de arredondamentos, considere o problema de valor inicial

y ' = t + y -   3 , y 0 = 2 .

(a) Mostre que a solução é y = ϕ 1 t = 2 – t .

(b) Suponha que é feito um erro na condição inicial e é utilizado o valor 2,001 em vez de 2.

Determine a solução y = ϕ 2 ( t ) nesse caso e compare a diferença ϕ 2 ( t ) – ϕ 1 t em t = 1 e quando t → ∞ .

Passo 1

Considere o problema do valor inicial:

y ' = t + y -   3 , y 0 = 2

a)

Mostre que a solução é  y = ϕ 1 t = 2 – t .

Esta equação diferencial y ' = t + y -   3  é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.

Isso pode ser escrito como

d y d t = t + y - 3

d y d t - y = t - 3

Compare esta equação com  d y d t + P t y = Q ( t ) .

Então P t = - 1   e   Q t = t - 3 .

O fator de integração é:

I . F = e ∫ P t d t

= e ∫ - 1 d t

= e - t

Passo 2

Agora multiplique a equação diferencial dada pelo fator de integração ( I . F ) e, em seguida,

y I . F = ∫ t - 3 I . F d t + C

y e - t = ∫ t - 3 e - t d t + C

= ∫ t e - t d t - 3 ∫ e - t d t + C

= - e - t t + 1 + 3 e - t + C

y e - t = - t e - t - e - t + 3 e - t + C

y e - t = - y e - t + 2 e - t + C

y = - t + 2 + C e t

Então, a solução é   y = - t + 2 + C e t .

Passo 3

Agora usamos a condição inicial,  y 0 = 2 para encontrar a solução específica.

y ( t ) = - t + 2 + C e t

y ( 0 ) = - 0 + 2 + C e 0

2 = - 0 + 2 + C ( 1 )

C = 0

Então a solução específica é,

y = - t + 2

Portanto, a solução em y 0 = 2 é y t = ϕ 1 t = 2 – t .

Passo 4

Suponha que na condição inicial um erro seja cometido e 2.001 seja usado em vez de 2 .

Então  y 0 = 2.001 .

Determine a solução  y t = ϕ 2 t nesse caso e compare ϕ 2 ( t ) – ϕ 1 t em t = 1 e t → ∞ .

Use a condição inicial  y 0 = 2.001 para encontrar a solução específica.

y t = - t + 2 + C e t

y 0 = - 0 + 2 + C e 0

2.001 = - 0 + 2 + C ( 1 )

C = 0,001

Então a solução específica é,

y t = - t + 2 + C e t

= - t + 2 + 0,001 e t

= 2 - t + 0,001 e t

Portanto, a solução em  y 0 = 2.001 é y ( t ) = 2 - t + 0,001 e t

Passo 5

A diferença entre as duas soluções particulares pode ser encontrada como,

  ϕ 2 t – ϕ 1 t = 2 - t + 0,001 e t - ( 2 - t )

= 2 - t + 0,001 e t - 2 + t

= 0,001 e t

Passo 6

Em t = 1 :

ϕ 2 t – ϕ 1 t = 0,001 e t

= 0,001 × e

= 0,001 × 2,718

= 0,00271828

Portanto, o valor de ϕ 2 t – ϕ 1 t em t = 1 é 0,00271828 .

Passo 7

Em t → ∞ :

= lim t → ∞ ⁡ (   ϕ 2 t – ϕ 1 t ) =   lim t → ∞ ⁡ (   0,001 e t )  

= 0,001 lim ⁡ e t   t → ∞

= 0,001 ( ∞ )

= ∞

Portanto, o valor de ϕ 2 t – ϕ 1 t em t → ∞ é ∞ .

Resposta

a) y = - t + 2

b) O valor de ϕ 2 t – ϕ 1 t em t = 1 é 0,00271828 e o valor de ϕ 2 t – ϕ 1 t em t → ∞ é ∞ .

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