Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 7
7 -
Passo 1
Considere o sistema:
a)
Vamos assumir como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.
Passo 2
Os valores são as raízes da equação.
Portanto, os autovalores são e .
Passo 3
Quando , a equação fornece,
Cada linha gera a condição:
O autovetor correspondente ao autovalor é: .
Passo 4
Como os valores próprios são números complexos, os autovetores correspondentes são conjugados complexos. Assim, o autovetor correspondente ao autovalor é: .
Passo 5
b) O objetivo é classificar o ponto crítico quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.
Os autovalores são números complexos e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico é um espiral. Como não há uma parte real, deve ser assintoticamente instável.
Além disso, todas as soluções se afastam de a medida que aumenta.
Assim, o ponto crítico é um ponto espiral instável.
Passo 6
c) As soluções do sistema são:
e
Simplifique a solução usando
Os valores reais das soluções do sistema são,
Assim, a solução geral do sistema (1) é,
Portanto,
Assim o esboço do gráfico de algumas trajetórias do sistema no plano de fase é.
Passo 7
Observe a solução que possui diferentes valores para e :
Para ,
Para ,
Para ,
Para ,
Agora vamos esboçar todas essas soluções no plano .
Passo 8
d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c). Portanto, com a ajuda de um software, use os comandos fornecidos para conferir os resultados.
Resposta
- Os autovalores são e .
- O ponto crítico é um ponto espiral instável.
-
O autovetor correspondente ao autovalor é:
O autovetor correspondente ao autovalor é:
