Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 3

3 - (d x)/(d t) = ([[2,-,1],[3,-,2]]) x

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[2,-,1],[3,-,2]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[2,-,1],[3,-,2]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[2,-,1],[3,-,2]]) (xi e^(r t))

= ([[2,-,r,-,1],[3,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[2,-,r,-,1],[3,-,2,-,r]]| = 0

(2 - r) (- 2 - r) + 3 = 0

- 4 + 2 r - 2 r + r^2 + 3 = 0

r^2 - 1 = 0

Portanto, os autovalores são r_1 = - 1 e r_2 = 1 .

Passo 3

Quando r = r_1 = - 1 , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[2,-,(,-,1,),-,1],[3,-,2,-,(,-,1,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[3,-,1],[3,-,1]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

3 xi_1 = xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 2 é: xi^1 = ([[1],[3]])

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r_2 = 1 .

Substitua  r = 1 na equação ( 2 ) ,

= ([[2,-,(,1,),-,1],[3,-,2,-,(,1,)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[1,-,1],[3,-,3]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_1 = xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = 1 é: xi^2 = ([[1],[1]])

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores são reais e de sinais opostos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Como os pontos de sela são sempre instáveis, o ponto crítico é um ponto de sela instável.

Passo 6

c)

O objetivo é esboçar várias trajetórias no plano de fase e também esboçar alguns gráficos típicos de  x_1 por t .

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c_1 , c_2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Alguns gráficos típicos de  x_1 , x_2 versus  t para várias condições iniciais são desenhados abaixo:

Para  x_1 (0) = - 1 , x_2 (0) = 0 :

Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = 0 :

Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = 0 :

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = - 1 e r_2 = 1 .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[3]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = 1 é: xi^2 = ([[1],[1]])

  2. O ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó e instável.
  4. Para  x_1 (0) = - 1 , x_2 (0) = 0 :

Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = - 2 , x_2 (0) = 0 :

Gráfico de x_1 , x_2 versus t para x_1 (0) = 2 , x_2 (0) = 0 :

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 10, determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas.7.
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.5. ( x - 1 ) y ( 4 ) + ( x + 1 ) y ' ' + t a n x y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.2. t y ' ' ' + ( s e n t ) y ' ' + 3 y = c o s t
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.3. t ( t - 1 ) y ( 4 ) + e t y ' ' + 4 t 2 y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.4. y ' ' ' + t y ' ' + t 2 y ' + t 3 y = ln ⁡ t