10 - d x d t = 1 2 - 5 - 1 x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  A - λ I = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n × n λ I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

d x d t = 1 2 - 5 - 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 1 2 - 5 - 1 ξ e r t

r ξ e r t = 1 2 - 5 - 1 ξ e r t

= 1 - r 2 - 5 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

1 - r 2 - 5 - 1 - r = 0

r 2 + 9 = 0

r 1 , 2 = ± 3 i

Portanto, os autovalores r 1,2 = ± 3 i .

Passo 3

Quando r = r 1 = 3 i , a equação ( 2 ) fornece,

= 1 - 3 i 2 - 5 - 1 - 3 i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

- ( 1 - 3 i ) ξ 1 = 2 ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 3 i é: ξ 1 = 2 - 1 + 3 i .

Da mesma forma, o autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - 3 i é: ξ 2 = 2 - 1 - 3 i .

Passo 4

b) Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico  0,0 é um ponto central estável.

Passo 5

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = 3 i e r 2 = - 3 i .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 3 i é: ξ 1 = 2 - 1 + 3 i

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 3 i   é: n = 2 - 1 - 3 i

  3. O ponto crítico é um ponto central estável.
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