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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 10

10 - (d x)/(d t) = ([[1,2],[-,5,-,1]]) x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  |A - lambda I| = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n xx n e  lambda I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[1,2],[-,5,-,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[1,2],[-,5,-,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[1,2],[-,5,-,1]]) (xi e^(r t))

= ([[1,-,r,2],[-,5,-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[1,-,r,2],[-,5,-,1,-,r]]| = 0

r^2 + 9 = 0

r_1 , 2 = +- 3 i

Portanto, os autovalores r_1,2 = +- 3 i .

Passo 3

Quando r = r_1 = 3 i , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[1,-,3,i,2],[-,5,-,1,-,3,i]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

- ( 1 - 3 i ) xi_1 = 2 xi_2

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 3 i é: xi^1 = ([[2],[-,1,+,3,i]]) .

Da mesma forma, o autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - 3 i é: xi^2 = ([[2],[-,1,-,3,i]]) .

Passo 4

b) Como os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico  (0,0) é um ponto central estável.

Passo 5

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = 3 i e r_2 = - 3 i .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = 3 i é: xi^1 = ([[2],[-,1,+,3,i]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = 3 i é: n = ([[2],[-,1,-,3,i]])

  2. O ponto crítico é um ponto central estável.

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