Singularidades no Infinito. As definições dadas nas seções precedentes de ponto ordinário e ponto singular regular só se aplicam se o ponto for finito. Em trabalhos mais avançados de equações diferenciais, é necessário, muitas vezes, discutir o ponto no infinito. Isto é feito por meio da mudança de variável e do estudado da equação resultante em . Mostre que, para a equação diferencial

o ponto no infinito é um ponto ordinário se

tiverem expansões em série de Taylor em torno de . Mostre, também, que o ponto no infinito é um ponto singular regular se pelo menos uma das funções acima não tem expansão em série de Taylor, mas ambas as funções

têm tais expansões.

Para fazer isso, precisamos primeiro usar a regra da cadeia para alterar as derivadas em termos de . Por definição, temos:

Temos que a segunda derivada por definição é:

Agora, nos podemos substituir os termos encontrados na equação diferencial dada. Assim temos:

Para que a equação diferencial acima fique com a cara de , vamos fazer a seguinte relação:

Agora temos que determinar se é um ponto ordinário ou não. Para fazer isso, vamos escrever as expressões para e . Assim temos:

e

Podemos ver que essas duas expressões são iguais às expressões dadas no problema. Assim, se e são contínuos e têm expansão da série Taylor em torno de , então o ponto em é um ponto ordinário.

Temos que o ponto no infinito é um ponto singular regular se pelo menos

e

não tiver uma expansão em série de Taylor, mas ambos

e

tiverem expansões em série de Taylor. Nesse caso, vamos calcular

e

Se essas duas expressões tiverem expansões de Taylor, por definição, o ponto em ou é um ponto singular regular.

Vemos que essas duas expressões correspondem às duas apresentadas no problema. Portanto, desde que ambas as expressões possuam expansões de Taylor o ponto no infinito é um ponto singular regular.