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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 39d

Considere a equação de Euler x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 . Encontre condições sobre α e β para que:

(d) Todas as soluções permaneçam limitadas quando x → ∞ .

Passo 1

(d) Fala Galera!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Para resolver essa questão, vamos supor que y = x r seja solução da equação diferencial.

Passo 2

Pela suposição feita no passo anterior, precisamos encontrar y ' e y ' ' para substituir na equação. Temos que:

y ' = r x r - 1

Então

y ' ' = r r - 1 x r - 2

Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:

x 2 r r - 1 x r - 2 + α x r x r - 1 + β x r = 0

Simplificando

r r - 1 x r + α r x r + β x r = 0

x r r r - 1 + α r + β = 0

x r r r - 1 + α r + β = 0

x r r 2 - r + α r + β = 0

x r r 2 + α - 1 r + β = 0

Temos que x r ≠ 0 , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que

r 2 + α - 1 r + β = 0

Por Bhaskara, temos o seguinte:

r = - α - 1 ± α - 1 2 - 4 β 2

r = 1 - α ± α - 1 2 - 4 β 2

Passo 3

Pela equação acima para encontrar r , podemos perceber que surgem 3 casos.

Caso (1)

α - 1 2 - 4 β < 0

Neste caso, as raízes são complexas e temos que:

r 1,2 = 1 - α 2 ± i 4 β - α - 1 2 2 ,                 β > 0

E a solução da equação diferencial é dada pela equação 27

y = x λ c 1 cos ⁡ μ ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ μ ln ⁡ x

Onde r 1,2 = λ ± i μ

Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:

y x = c 1 x 1 - α 2 cos ⁡ 1 2 4 β - α - 1 2 ln ⁡ x + c 2 x 1 - α 2 sen ⁡ 1 2 4 β - α - 1 2 ln ⁡ x

Passo 4

Caso (2)

α - 1 2 - 4 β = 0

α - 1 2 = 4 β ,                 β > 0

Neste caso, as raízes são reais e iguais e temos que:

r 1,2 = 1 - α 2

E a solução da equação diferencial é dada pela equação 26

y = c 1 + c 2 ln ⁡ x x r 1

Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:

y x = x 1 - α / 2 c 1 + x 1 - α / 2 c 2 ln ⁡ x

Passo 5

Caso (3) 

α - 1 2 - 4 β > 0

α - 1 2 > 4 β

Neste caso, as raízes são reais e diferentes e a solução da equação diferencial é dada pela equação 25

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:

y x = c 1 x 1 - α + α - 1 2 - 4 β 2 + c 2 x 1 - α - α - 1 2 - 4 β 2

Passo 6

Para o caso (1) descrito anteriormente:

y x = c 1 x 1 - α 2 cos ⁡ 1 2 4 β - α - 1 2 ln ⁡ x + c 2 x 1 - α 2 sen ⁡ 1 2 4 β - α - 1 2 ln ⁡ x

Como as funções trigonométricas são limitadas, para que y x permaneça limitada quando x → ∞ , precisamos que:

1 - α 2 < 0

Isso implica que α > 1 e β > 0 .

Para o caso (2) descrito anteriormente:

y x = x 1 - α / 2 c 1 + x 1 - α / 2 c 2 ln ⁡ x

Para que y x permaneça limitada quando x → ∞ , precisamos que:

1 - α 2 < 0

Isso implica que α > 1 e β > 0 .

Para o caso (3) descrito anteriormente:

y x = c 1 x 1 - α + α - 1 2 - 4 β 2 + c 2 x 1 - α - α - 1 2 - 4 β 2

Para que y x permaneça limitada quando x → ∞ , precisamos que:

1 - α + α - 1 2 - 4 β 2 < 0

E

1 - α - α - 1 2 - 4 β 2 < 0

Rescrevendo

1 - α < α - 1 2 - 4 β

1 - α 2 < α - 1 2 - 4 β

Isso implica que α > 1 e β > 0 .

Assim, combinando todos os casos discutidos acima, temos que todas as soluções são limitadas para  x → ∞ quando α > 1 e β > 0 .

Resposta

Caso (1) α > 1 e β > 0

Caso (2) α > 1 e β > 0

Caso (3) α > 1 e β > 0

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