Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 10
10 -
Passo 1
As equações dadas são:
O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.
Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:
Isso é,
ou
ou
Aqui, para ajudar na resolução iremos fazer a seguinte alteração: .
ou ou
Portanto, os pontos críticos são:
e
Passo 2
b) O objetivo é desenhar um campo de direção e um retrato de fase para o sistema usando um computador.
Use o software de bordo para desenhar um campo de direção do sistema.
Primeiro escreva o sistema como,
O gráfico é mostrado abaixo:
A figura acima é o campo de direção que contém e .
A figura acima é o campo de direção que contém e .
O retrato de fase do sistema:
Passo 3
c) Claramente da figura, os pontos e são pontos de sela e os pontos e são pontos espirais.
Observe o ponto espiral , próximo a esse ponto as trajetórias estão se aproximando do ponto espiral , de modo que o ponto é assintoticamente estável.
As trajetórias próximas ao ponto espiral se aproximam desse ponto, de modo que o ponto é assintoticamente estável.
Os pontos de sela e são instáveis.
Passo 4
d) Lembre-se do conceito,
Seja qualquer ponto no plano com a propriedade pela qual uma trajetória passando por esse ponto, se aproxima do ponto crítico de acordo que . Então, diz-se que a trajetória é atraída pelo ponto crítico. O conjunto de todos esses pontos é chamado de bacia de atração ou região de estabilidade assintótica do ponto crítico.
Existem trajetórias que se aproximam do ponto de sela na origem como . Um dos pontos de sela está no eixo e a trajetória que passa pelo ponto é quase reta.
Passo 5
As trajetórias que passam pelos pontos, que estão acima do eixo- e direto para a trajetória que passa pelo ponto , são abordagens do ponto crítico .
Portanto, esse conjunto de pontos forma a bacia de atração do ponto crítico .
As trajetórias que passam pelos pontos, que estão abaixo do eixo- e direto para a trajetória que passa pelo ponto, são abordagens do ponto crítico .
Portanto, esse conjunto de pontos forma a bacia de atração do ponto crítico .
Observe essas trajetórias:
Resposta
- Os pontos críticos e
-
A figura acima é o campo de direção que contém e .
A figura acima é o campo de direção que contém e .
O retrato de fase do sistema:
- O ponto crítico é um ponto de sela e instável.
- Duas trajetórias entram no ponto de sela com inclinações de aproximadamente . Todas as outras trajetórias acabam saindo da vizinhança do ponto.
O ponto crítico é o ponto de espiral e é assintoticamente estável.
O ponto crítico é um ponto de espiral e assintoticamente estável.
O ponto crítico é um ponto de sela e instável.
A linha é uma trajetória. Nesta linha, e é positivo ou negativo, dependendo de ser menor ou maior que .
Assim, nenhuma outra trajetória pode cruzar essa linha.